[Probability] Dice Example

 보통 확률 이야기가 나오면 가장 많이 나오는 내용이 주사위다. 물론 주사위도 여러개 있겠지만, 흔히 다루는 주사위인 정육면체를 두고 가정해보자.
 그러면 빨간 주사위를 던졌을 때를 event라고 정의했을 때, 이 event에서 얻을 수 있는 outcome은 1,2,3,4,5,6 6개이다. 마찬가지로 초록 주사위를 던졌을 때 event도 얻을 수 있는 outcome이 동일하다. 이걸 하나의 sample space로 표현하면

와 같이 도식화 할 수 있다. 이걸 이제 수학적으로 표현하면

S = { (1,1), (1,2), (1,3), ... (6,5), (6,6)}

가 되는데, 이걸 좀더 유식하게 표현하면,

S = { (i,j) | 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6} 

(i는 빨간 주사위의 outcome) 

(j는 초록 주사위의 outcome)

라고 할 수 있다. 여기서 지난 포스트의 notation 처럼 condition을 bar 우측에 표현해준 것을 확인할 수 있다. 

event를 수학적으로 표현할 때는 다음과 같이 표현한다.

{ event 내의 content(outcome) | event가 발생하는 조건(condition) }

 물론 이런 condition 표현은 위와 같이 단순히 범위만 표현할 수 있는게 아니라 부가적인 조건도 추가할 수 있다. 예를 들어 두개의 주사위를 던졌을 때 값의 합이 4 이하인 경우에 대한 event A를 표현하라고 했을 때, 도식적으로는

와 같이 파란색으로 표현된 부분이 된다. 이걸 수식으로 쓰면

A = { (i, j) | 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6 그리고 i + j ≤ 4 }

와 같다. 물론 노가다로

A = {(1,1) , (1,2) , (1,3), ...}

처럼 모든 outcome을 쓸 수도 있겠지만, 우리가 앞으로 다뤄야 할 event와 outcome은 위와 같은 주사위처럼 정해진게 아니라 엄청 많은 경우의 수를 내포할 수 있다.

 다른 event B를 생각해보자. B에 대한 condition이 빨간 주사위는 1을 가지고 초록 주사위는 3보다 작은 수를 가진다고 가정했을 때 B event는

B = {(1,1), (1,2), (1,3)}

이 된다. 여기서 집합의 관계를 따져보면 event B가 발생하면 이는 즉 event A가 발생했다는 것으로도 표현할 수 있다. (A ⊃ B 라고 표현할 수 있겠다.) 결국 event B가 event A의 부분집합이 되는 것이다.