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Study/Network

[Network] Nash Equilibrium 문제

생각많은 소심남 2015. 3. 2. 00:17

요새 듣고 있는 강의중에 Network내에서의 현상을 다루는 강의가 있는데 거기서 배운 개념 중에 Nash Equilibrium 이라는 게 있다. 아마 Beautiful Mind 라는 영화를 본 사람이라면 이 사람이 어떤 사람인지 잘 알 것이다. 수업 관련 문제를 풀다가 다시 정리할 필요가 있어서 문제랑 같이 요약해본다.



위의 문제는 Nash equilibrium을 맞출 수 있는 Strategy, 즉 가장 최적의 solution을 찾는 문제이다. 각 행렬요소의 첫번째 인자가 U,M,D를 선택했을때의 가치이고, 각 행렬요소의 두번째 인자가 각각 L,M,R을 선택했을 때의 효용가치( 책에서는 payoff 라고 한다 )를 나타낸 것이다. 예를 들어서 내가 U와 L을 선택했다면 내가 U를 통해서 얻을 수 있는 가치는 5이고, L을 통해서 얻을 수 있는 가치는 1이다. 이런식으로 판단했을 때 과연 어떤 선택이 최고의 가치를 얻어낼 수 있는가에 대한 문제였다.

 사실 우리가 문제를 풀 때나 무언가를 선택할 때가 되면 여러가지를 고려하게 된다. 그리고 항상 그 선택을 할때는 선택의 여부가 2~3가지 정도로 갈리고 엄청 고민을 하게 된다. 그런데 다들 알다시피 모두를 만족시키는 solution이란 있을 수가 없다. 분명히 내가 최적의 solution을 선택하면 다른 사람 입장에서는 상대적으로 손해를 보는 케이스가 생기기도 하고, 혹은 상대방을 고려하다가 내가 손해보는 케이스가 발생하기도 한다. 여러분은 어떤 선택을 할 것인가?

 우선 Nash Equilibrium에 따라 선택하는 것을 따르자면 각 선택지에 대한 Dominant Strategy를 찾는 것이 목적이 된다. 우선 U를 선택했을 때 L,M,R의 기회 가치를 놓고 보면 R을 선택했을 때가 가장 가치가 높다(9). 그럼 M을 선택한다고 가정했을 때 L,M,R에 대한 가치를 비교하면 어떻게 될까? 역시 R일때 가장 높다(3). 마찬가지로 D를 선택한다고 가정했을 때도 R을 선택할 때가 가장 가치가 높다는 것을 알 수 있다.

 그런데 반대의 케이스를 놓고 보면 혼돈이 생기게 된다. L을 선택한다고 가정했을 때 U,M,D에 대한 것을 비교해보면 U를 선택했을 때가 높다(5). 그런데 M을 선택했을 때를 보면 오히려 D를 선택했을 때가 가치가 높다(3). R의 케이스는 M을 선택했을 때가 가치가 높다. 결국 경우에 따라서 첫번째 선택지에 대한 결과가 다르게 나오는 것을 확인할 수 있고, 이걸 Dominant Strategy가 없다고 표현한다. 이 때는 앞에서 먼저 구한 L,M,R 선택지 중 dominant Strategy인 R 의 경우 내에서 찾게 된다. R을 선택했을 때, U,M,D의 선택지를 비교해보면 M을 선택했을 때 모두가 좋다고 생각하는 solution이 나오게 되는 것이다. 

 앞에서 말한 것처럼 모두를 만족시키는 솔루션은 없다. 상황에 따라서는 상대방이 손해보는 케이스도 있고, 혹은 어쩔 수 없는 상황에 의해서 내가 손해보는 케이스도 존재한다. 그 중에서 어떤걸 선택할거냐고 나한테 물으면... 솔직히 잘 모르겠다. 뭔가 내가 손해보기는 싫고, 그렇다고 나때문에 상대방이 손해보는 케이스는 더더욱 싫다. 그러기 위해서는 서로가 어느정도 이해되는 선이 최선의 선택이 될거 같은데 그게 이런 문제에서 잘 나타나는 거 같다. 

 참고로 이런 거에 관심있는 사람은 Prisoner`s dilemma 혹은 죄수의 딜레마라고 검색해보면 더 정보를 얻을 수 있을 듯 하다.


(아.. 내가 이 문제를 왜 틀렸을까나...)

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